MATEMÁTICAS E HISTORIA
Curiosidades
Fracciones y cámaras fotográficas
Para conseguir plasmar esos momentos, la cámara debe abrir y cerrar el obturador en fracciones de segundo. El obturador es la ventana que deja pasar la luz para que incida en la película. Si observas una cámara, verás que tiene marcados unos números (50, 100, 200…) referidos a esa velocidad del obturador. El número 50 significa que el obturador se abre y se cierra en 1/50de segundo.
Las cámaras más modernas tienen velocidades de hasta 1/12.000 de segundo.
La necesidad y utilidad de los números naturales para contar es evidente y no requiere apenas explicación, pero ¿para qué podían necesitar las fracciones nuestros antepasados de hace 50.000 o 100.000 años? Es fácil imaginarse la necesidad de las fracciones. Supongamos que un pequeño grupo de tres o cuatro cazadores primitivos se reúne para cazar una gran pieza, un ciervo o un bisonte. Una vez cazada, probablemente ninguno estaría dispuesto a que se la llevase entera otro cazador del grupo. Se presentaría, por tanto, la necesidad de realizar un reparto de la pieza y que cada uno pudiera llevarse (aproximadamente) un tercio o un cuarto del animal, según los cazadores que fueran. Seguramente fue así como debió plantearse la necesidad de esos nuevos números, que van «en dirección contraria» a los de contar.
¿Se puede descomponer cualquier cuadrado perfecto en suma de dos cuadrados (a2 = b2 + c2)?
El origen de las fracciones
Descomposición de cuadrados y cubos perfectos
¿Se puede descomponer cualquier cuadrado perfecto en suma de dos cuadrados (a2 = b2 + c2)?
La lista de cuadrados perfectos es: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…
De los cuadrados anteriores, esto es posible solo para a2 = 25 (9 + 16) y a2 = 100 (36 + 64). Por tanto, la respuesta a la pregunta anterior es que unas veces sí y otras no, es decir, que no siempre se puede.
¿Qué ocurre con los cubos perfectos a3, como son, por ejemplo, 1, 8, 27, 64, 125…?
Leonhard Euler (1707-1783) demostró lo siguiente: «Ningún cubo perfecto, por grande que sea, se puede descomponer en suma de dos cubos perfectos más pequeños».
En términos geométricos, si tienes un cubo construido con a3 cubitos y tratas de construir con ellos dos cubos más pequeños (iguales o distintos), verás que es imposible; para uno de los cubos siempre nos faltarán o sobrarán «cubitos», como se ve en la figura.
No solo es imposible la igualdad a3 = b3 + c3, sino que también es imposible la igualdad an = bn + cn,
para n > 2, y a, b, c, números enteros. Este es el llamado «último teorema de Fermat», demostrado
por el matemático inglés Andrew J. Wiles en 1994.
Se dice que en un país, hace mucho tiempo, gobernaba un tirano, famoso por su crueldad hacia sus súbditos, que solían habitar las prisiones más duras. Preocupado siempre por el «bien de sus súbditos», hizo reunir a sus matemáticos para plantearles el siguiente problema. Se trataba de que estudiasen cuál había de ser la forma de la celda de una prisión para que resultase lo más incómoda posible, inaguantable tanto física como psicológicamente para los presos encerrados en ella.
Cálculo de la letra de un número de DNI
El NIF (Número de Identificación Fiscal) está formado por la unión del número de DNI y una letra, asociada a ese número de manera única.
Enrique ha ido a una agencia de viajes a hacer una reserva. Para hacerlo le piden su NIF. Recuerda su
número de DNI, 5 366 821, pero no la letra que le corresponde. ¿Cómo puede calcularla?
Método de cálculo
Para obtener la letra asociada al número tenemos que seguir estos pasos:
1º. Dividimos el número del DNI entre 23, sin obtener decimales, y apuntamos el resto de la división.
5 366 821 : 23 = 233 340,0434... Cociente: 233 340; Resto: 1
2º. Miramos en esta tabla qué letra está asociada al resto, el número 1. La letra es la R.
La prisión más incómoda
Tras pensar largo tiempo, concluyeron unánimemente que la celda que más torturaba psicológicamente era la de planta triangular (ni cuadrada ni rectangular), sobre todo si los tres ángulos son dos ángulos agudos muy pequeños y el tercero obtuso.
Conviene no olvidar que muchos científicos han colaborado en la construcción de armas de guerra y de ahí, la necesidad de mantener una actitud ética en la ciencia.
Volumen, área y supervivencia de los animales
¿Te has preguntado alguna vez por qué razón los animales terrestres más grandes (elefantes, hipopótamo…) viven en zonas calurosas?
La relación existente entre el área y el volumen del cuerpo de un animal es un factor clave para su supervivencia. Un animal con el mismo volumen que otro, pero con mayor área de piel, perderá calor mucho más rápidamente que aquel.
En los trópicos interesa perder calor con facilidad, por eso los animales que habitan en ellos tienden a aumentar su área corporal, mientras que en zonas frías, donde es vital conservar el calor del cuerpo, los animales adoptan formas en las que la superficie corporal sea lo más pequeña posible.
La enorme superficie corporal de los dinosaurios, unida al descenso de temperaturas provocado por la caída de un meteorito, que levantó una enorme cantidad de polvo ocultando la luz del sol, contribuyó, según algunos científicos, a su extinción.
Tales de Mileto
Poco se conoce de la vida de Tales de Mileto, uno de los Siete
Sabios de la antigua Grecia, que nació en el año 624 a.C. y murió en el 547
a.C. Hasta nosotros han llegado multitud de anécdotas sobre su vida, con más o menos
visos de credibilidad. Una de esas historias es la referente a las almazaras
que narramos en el libro de texto, siendo la más conocida el cálculo de la
altura de la Gran Pirámide por parte de Tales, midiendo la sombra que
proyectaba esta a la misma hora en que su propia sombra medía igual que él
mismo. Probablemente su aportación científica más conocida es el teorema que
lleva su nombre: el teorema de Tales; sin embargo, aunque él lo conociera y
utilizara se pone en duda que fuera capaz de demostrarlo, pues la primera vez
en que aparece demostrado es en la obra de Euclides, Los Elementos. Entre
sus aportaciones matemáticas cabe destacar:- La definición de diámetro de un círculo: todo círculo queda dividido en dos partes semejantes por su diámetro.
- Los ángulos de la base (el lado desigual) de todo triángulo isósceles son iguales.
- Los ángulos opuestos por el vértice, formados al cortarse dos rectas, son iguales.
- Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
Gauss
Las dotes
matemáticas de Gauss, uno de los matemáticos más importantes de la historia, se
manifestaron muy pronto.
Se cuenta de él que un día, a la edad de nueve años, cuando llegó a la
clase de aritmética de la escuela primaria, el profesor les pidió a él y a sus
compañeros que sumasen todos los números del 1 al 100.
Gauss se paró a pensar, y
en lugar de sumar todos los números, uno por uno, resolvió el problema rápidamente
de la siguiente manera. 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = = (1 + 100) + (2 + 99)
+ … + (50 + 51) = 101 x 50 = 5 050
Gauss había descubierto el principio de la fórmula de la suma de los
términos de una progresión aritmética. A consecuencia de estos éxitos, sus
maestros se interesaron por su futuro en esta ciencia. Gauss estudió
Matemáticas y llegó a ser catedrático de Astronomía y director del Observatorio
Astronómico de Gotinga.
Pitágoras
Nació en la isla de Samos en la primera mitad del siglo VI a.C., aunque se desconoce cómo fueron sus primeros años de vida, existen pruebas de que viajó con su padre, que era comerciante.
Algunos historiadores afirman que fue discípulo de Tales de Mileto. Cuando Pitágoras tenía 20 años, Tales lo indujo a viajar y le inculcó el amor por las Matemáticas. Siguiendo los consejos de Tales, viajó a Egipto y a Babilonia asimilando los conocimientos de Matemáticas y Astronomía de esas civilizaciones. Después de largos años viajando, regresó a su patria y se estableció en Crotona, una ciudad de la Magna Grecia (Italia), donde fundó una sociedad de carácter científico-religioso que pasaría a la historia con el nombre de Escuela Pitagórica. Años después los pitagóricos fueron perseguidos y expulsados de Crotona por motivos políticos. Algunos estudiosos de la vida de Pitágoras aseguran que falleció en esa fecha, mientras que otros afirman que se estableció en una ciudad vecina, Metaponto, muriendo a edad avanzada a principios del siglo V a.C., y siendo la última hipótesis más fiable. Su principal legado matemático es el teorema de Pitágoras, que no fue descubierto por él, si bien se le atribuye la primera demostración rigurosa del mismo. Sus conocimientos y trabajos –que son, en realidad, los de los miembros de la Escuela Pitagórica– en el campo numérico (números primos, cuadrados, razones, proporciones, etc.) son notables. Pitágoras es considerado como el primer matemático por trabajar con las Matemáticas en un nivel abstracto, en lugar de hacerlo con situaciones concretas, como se había hecho hasta entonces.
Arquímedes
En Sicilia, preocupado porque el ideal de su hijo Marco
fuera el espíritu guerrero y las conquistas de Julio César, Cicerón razonaba
con él de esta manera:
– Muy cerca de aquí, en Siracusa, vivió el ingeniero bélico
más grande de todos los tiempos. Él solo fue capaz de detener al ejército
romano durante más de tres años. Marco se interesó vivamente por el tema y su
padre le contó la historia de Arquímedes, prometiéndole que al día siguiente
irían a ver su tumba.
Al día siguiente, ante la tumba donde Marco esperaba ver las
hazañas de Arquímedes, solamente encontró una esfera inscrita en un cilindro. Entonces
Cicerón le dijo a su hijo:
– Pese a todos sus logros en ingeniería militar, no dejó ni
un solo escrito sobre ellos y sí numerosos libros de matemáticas y mecánica. Él
pensaba que su mayor tesoro era haber descubierto que el volumen de la esfera es
dos tercios del volumen del cilindro que la contiene.
En esta página puedes encontrar la biografía de Arquímedes,
donde se recogen sus descubrimientos:
En la siguiente página se narra el desenlace del sitio de
Siracusa:
En esta página hallarás una extensa biografía de Arquímedes
de Siracusa:
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